Teorema de Thales

El teorema de Thales es un resultado fundamental en geometría que establece una relación proporcional entre segmentos de rectas paralelas cortadas por una secante. Este teorema, atribuido al matemático griego Thales de Mileto, es ampliamente utilizado en la resolución de problemas geométricos y en la demostración de otros teoremas importantes.

El teorema de Tales lleva el nombre de Tales de Mileto, un filósofo y matemático griego que vivió alrededor del siglo VI a.C. Tales es considerado uno de los Siete Sabios de Grecia y es conocido por sus contribuciones a la geometría y la astronomía. Se cree que Tales fue uno de los primeros matemáticos en utilizar la demostración para establecer verdades geométricas, hacia el año 600 a. C., se dice que estando allí, inventó un procedimiento para calcular la altura de las pirámide Keops por semejanza, esto lo pudo hacer midiendo la sombra de esta y la de su bastón.

H = Altura de la pirámide

S = Sombra de la pirámide

h =altura del bastón

s = sombra del bastón

Queda esta fórmula para resolver el teorema de Thales

¿Qué es?

El teorema de Thales es un principio geométrico que establece una relación fundamental entre segmentos de rectas paralelas y segmentos de rectas secantes que forman triángulos semejantes.

Si cortamos un triángulo dibujando una recta paralela a uno de sus lados, obtendremos un triángulo semejante al previamente existente.

Es decir, dado el triángulo ACE, se trazan en segmentos paralelos BD a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triangulo ABD, cuyos lados son proporcionales AC, además los triángulos ABC y ACE son semejantes, entonces se cumple que:

Determinación de la altura por el teorema de Thales

Si dos triángulos tienen sus lados paralelos, serán semejantes
Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo serán semejantes

Ejemplo:

Dados los triángulos rectángulos ABD y ACE donde BD es paralelo a CE, se cumple el teorema de Thales:

Los triángulos rectángulos ABD y ACE son semejantes.
Los lados son proporcionales .

Demostración del teorema de Thales:

1. Un poste de alumbrado público vertical de 3m de altura proyecta una sombra de 1,5m ¿Qué altura tendrá el árbol que a esa misma hora proyecta una sombra de 4m?

Con la fórmula de H/h = S/s se va a resolver este y todos los demás ejercicios. Primero lo primero se sustituyen los valores:

H/h = S/s

3m/1,5m = X/4m

Para poder despejar “x” se multiplicará en forma cruzada para que el despeje sea mucho más fácil, es decir:

3m/1,5m = X/4m

3m . 4m = 1,5m . X

3m . 4m /1,5m = X

Ahora que “x” está libre lo que se debería hacer el multiplicaros valores que están en el numerador, es decir multiplicar 3m x 4m:

12m /1,5m = X

Y ahora el resultado se dividirá con el denominar para dar con el valor d “x”:

8m = X

La altura del árbol es de 4m.

2. Este es otro ejemplo del Teorema de Thales, donde las líneas horizontales son transversales y las verticales paralelas, lo que significa que, si dos líneas cualquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en cada recta son proporcionales a los correspondientes en la otra.

Para resolver este ejercicio se hará uso de la misma fórmula de antes (H/h = S/s), lo único que quedaría es resolver el ejercicio:

H/h = S/s

a/c = b/X

c . b = a . X

c . b /a = X

3. Es prácticamente lo mismo del ejercicio anterior que si se cortan rectas paralelas se obtienen segmentos proporcionales donde se aplica semejanza en cada uno de ellos:

Para resolver el ejercicio lo único se habría que hacer es aplicar la fórmula que ya conocemos:

H/h = S/s

X/o = n/m

X . m = o . n

X = o . n/ m

Vídeo explicando otro ejercicio:

En caso de no entender o quedar con dudas recurrir los siguientes links:

Características del Teorema de Euclides:

1. Al aplicarlo en triángulos, los triángulos deben ser semejantes.

2. En el teorema de Thales, la proporción entre los segmentos de los lados del triángulo y los segmentos correspondientes en la recta paralela es constante.

3. El teorema de Thales se aplica en diversos campos, como la trigonometría, la geometría analítica y la resolución de problemas geométricos en general.

4. Al aplicarlo en rectas, se deben cortar dos rectas y a estas cortarlas rectas paralelas.

5. La aplicación del teorema de Tales requiere de un análisis detallado y preciso de las medidas de los segmentos y de las proporciones entre ellos. Esto puede ser complicado y propenso a errores, especialmente en situaciones donde las medidas no son exactas o las figuras son irregulares.

El Teorema de Thales en la vida cotidiana:

1. Escalas de mapas y planos: En cartografía y topografía, se utiliza el Teorema de Thales para determinar distancias reales a partir de escalas en mapas y planos. La relación entre las distancias en el mapa y las distancias reales se basa en este principio de proporcionalidad.

2. Diseño de objetos y estructuras: En arquitectura, ingeniería y diseño industrial, el Teorema de Thales se utiliza para mantener proporciones adecuadas en la creación de objetos y estructuras. Por ejemplo, al diseñar un edificio, se aplican principios de proporcionalidad para asegurar que las dimensiones sean estéticamente agradables y funcionales.

3. Óptica y visión: En óptica, el Teorema de Thales se emplea para comprender la formación de imágenes en lentes y espejos, así como para calcular distancias focales y tamaños relativos de objetos. La proporcionalidad entre distancias y tamaños es fundamental en estos cálculos.

4. Geometría y trigonometría: En matemáticas, el Teorema de Thales es fundamental para comprender conceptos geométricos y trigonométricos. Se aplica en el estudio de triángulos, similitud de figuras, razones trigonométricas y otros temas relacionados.

5. Proporciones en la naturaleza: En la naturaleza, muchas estructuras siguen patrones proporcionales que pueden explicarse con el Teorema de Thales. Por ejemplo, la forma en la que se distribuyen las ramas de un árbol o la disposición de las hojas en una flor pueden estar relacionadas con principios matemáticos de proporcionalidad.

Problemas:

https://1drv.ms/w/c/3ba95abff79fb61b/EcsFtkYHC7FOvtYNDecd1KgB2vqWp7f101r31oa6Qq6ctA?e=MFjRcg